Python机器学习之PCA降维算法详解(Python)

一、算法概述

主成分分析（Principal ComponentAnalysis，PCA）是一种掌握事物主要矛盾的统计分析方法，它可以从多元事物中解析出主要影响因素，揭示事物的本质，简化复杂的问题。
PCA 是最常用的一种降维方法，它的目标是通过某种线性投影，将高维的数据映射到低维的空间中，并期望在所投影的维度上数据的方差最大，以此使用较少的维度，同时保留较多原数据的维度。
PCA 算法目标是求出样本数据协方差矩阵的特征值和特征向量，而协方差矩阵的特征向量的方向就是PCA需要投影的方向。使样本数据向低维投影后，能尽可能表征原始的数据。
PCA 可以把具有相关性的高维变量合成为线性无关的低维变量，称为主成分。主成分能够尽可能的保留原始数据的信息。
PCA 通常用于高维数据集的探索与可视化，还可以用作数据压缩和预处理等。

二、算法步骤

1.将原始数据按行组成m行n列的矩阵X

2.将X的每一列（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一列的均值

3.求出协方差矩阵

4.求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量r

5.将特征向量按对应特征值大小从左到右按列排列成矩阵，取前k列组成矩阵P

6.计算降维到k维的数据

三、相关概念

方差：描述一个数据的离散程度

协方差：描述两个数据的相关性，接近1就是正相关，接近-1就是负相关，接近0就是不相关

协方差矩阵：协方差矩阵是一个对称的矩阵，而且对角线是各个维度的方差

特征值：用于选取降维的K个特征值
特征向量：用于选取降维的K个特征向量

四、算法优缺点

优点

仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。
各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。
计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。

缺点

主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。
方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，降维丢弃的数据可能对后续数据处理有影响。

五、算法实现

自定义实现

import numpy as np

# 对初始数据进行零均值化处理
def zeroMean(dataMat):
 # 求列均值
 meanVal = np.mean(dataMat, axis=0)
 # 求列差值
 newData = dataMat - meanVal
 return newData, meanVal

# 对初始数据进行降维处理
def pca(dataMat, percent=0.19):
 newData, meanVal = zeroMean(dataMat)
 # 求协方差矩阵
 covMat = np.cov(newData, rowvar=0)
 # 求特征值和特征向量
 eigVals, eigVects = np.linalg.eig(np.mat(covMat))
 # 抽取前n个特征向量
 n = percentage2n(eigVals, percent)
 print("数据降低到：" + str(n) + '维')
 # 将特征值按从小到大排序
 eigValIndice = np.argsort(eigVals)
 # 取最大的n个特征值的下标
 n_eigValIndice = eigValIndice[-1:-(n + 1):-1]
 # 取最大的n个特征值的特征向量
 n_eigVect = eigVects[:, n_eigValIndice]
 # 取得降低到n维的数据
 lowDataMat = newData * n_eigVect
 reconMat = (lowDataMat * n_eigVect.T) + meanVal
 return reconMat, lowDataMat, n

# 通过方差百分比确定抽取的特征向量的个数
def percentage2n(eigVals, percentage):
 # 按降序排序
 sortArray = np.sort(eigVals)[-1::-1]
 # 求和
 arraySum = sum(sortArray)
 tempSum = 0
 num = 0
 for i in sortArray:
  tempSum += i
  num += 1
  if tempSum >= arraySum * percentage:
return num

if __name__ == '__main__':
 # 初始化原始数据(行代表样本,列代表维度)
 data = np.random.randint(1, 20, size=(6, 8))
 print(data)
 # 对数据降维处理
 fin = pca(data, 0.9)
 mat = fin[1]
 print(mat)

利用Sklearn库实现

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.datasets import load_iris
# 加载数据
data = load_iris()
x = data.data
y = data.target
# 设置数据集要降低的维度
pca = PCA(n_components=2)
# 进行数据降维
reduced_x = pca.fit_transform(x)
red_x, red_y = [], []
green_x, green_y = [], []
blue_x, blue_y = [], []
# 对数据集进行分类
for i in range(len(reduced_x)):
 if y[i] == 0:
  red_x.append(reduced_x[i][0])
  red_y.append(reduced_x[i][1])
 elif y[i] == 1:
  green_x.append(reduced_x[i][0])
  green_y.append(reduced_x[i][1])
 else:
  blue_x.append(reduced_x[i][0])
  blue_y.append(reduced_x[i][1])
plt.scatter(red_x, red_y, c='r', marker='x')
plt.scatter(green_x, green_y, c='g', marker='D')
plt.scatter(blue_x, blue_y, c='b', marker='.')
plt.show()