(手写)PCA原理及其Python实现图文详解(方差成分)

1、背景

为什么需要降维呢？

因为数据个数 N 和每个数据的维度 p 不满足 N >> p，造成了模型结果的“过拟合”。有两种方法解决上述问题：

增加N;减小p。

这里我们讲解的 PCA 属于方法2。

2、样本均值和样本方差矩阵

3、PCA

3.1 最大投影方差

3.2 最小重构距离

4、Python实现

"""
 -*- coding: utf-8 -*-
 @ Time  : 2021/8/15  22:19
 @ Author: Raymond
 @ Email : wanght2316@163.com
 @ Editor: Pycharm
"""
from sklearn.datasets import load_digits
from sklearn.decomposition import PCA
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
digits = load_digits()
print(digits.keys())
print("数据的形状为: {}".format(digits['data'].shape))
# 构建模型 - 降到10 d
pca = PCA(n_components=10)
pca.fit(digits.data)
projected=pca.fit_transform(digits.data)
print('降维后主成分的方差值为：',pca.explained_variance_)
print('降维后主成分的方差值占总方差的比例为：',pca.explained_variance_ratio_)
print('降维后最大方差的成分为：',pca.components_)
print('降维后主成分的个数为：',pca.n_components_)
print('original shape:',digits.data.shape)
print('transformed shape:',projected.shape)
s = pca.explained_variance_
c_s = pd.DataFrame({'b': s,'b_sum': s.cumsum() / s.sum()})
c_s['b_sum'].plot(style= '--ko',figsize= (10, 4))
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 指定默认字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题
plt.axhline(0.85,  color= 'r',linestyle= '--')
plt.text(6, c_s['b_sum'].iloc[6]-0.08, '第7个成分累计贡献率超过85%', color='b')
plt.title('PCA 各成分累计占比')
plt.grid()
plt.savefig('./PCA.jpg')
plt.show()

结果展示：