Python数学建模学习模拟退火算法多变量函数优化示例解析(退火函数)

1、模拟退火算法

退火是金属从熔融状态缓慢冷却、最终达到能量最低的平衡态的过程。模拟退火算法基于优化问题求解过程与金属退火过程的相似性，以优化目标为能量函数，以解空间为状态空间，以随机扰动模拟粒子的热运动来求解优化问题（[1] KIRKPATRICK,1988）。
模拟退火算法结构简单，由温度更新函数、状态产生函数、状态接受函数和内循环、外循环终止准则构成。

温度更新函数是指退火温度缓慢降低的实现方案，也称冷却进度表；
状态产生函数是指由当前解随机产生新的候选解的方法；
状态接受函数是指接受候选解的机制，通常采用Metropolis准则；
外循环是由冷却进度表控制的温度循环；
内循环是在每一温度下循环迭代产生新解的次数，也称Markov链长度。

模拟退火算法的基本流程如下：

（1）初始化：初始温度T，初始解状态s，迭代次数L；
（2）对每个温度状态，重复 L次循环产生和概率性接受新解：
（3）通过变换操作由当前解s 产生新解s′；
（4）计算能量差 ∆E，即新解的目标函数与原有解的目标函数的差；
（5）若∆E <0则接受s′作为新的当前解，否则以概率exp(-∆E/T) 接受s′ 作为新的当前解；
（6）在每个温度状态完成 L次内循环后，降低温度 T，直到达到终止温度。

2、多变量函数优化问题

选取经典的函数优化问题和组合优化问题作为测试案例。

问题 1：Schwefel 测试函数，是复杂的多峰函数，具有大量局部极值区域。
　　F(X)=418.9829×n-∑(i=1,n)〖xi* sin⁡(√(|xi|)) 〗
本文取 d=10, x=[-500,500]，函数在 X=(420.9687,…420.9687)处为全局最小值 f(X)=0.0。

使用模拟退火算法的基本方案：控制温度按照 T(k) = a * T(k-1) 指数衰减，衰减系数取 a；如式（1）按照 Metropolis 准则接受新解。对于问题 1（Schwefel函数），通过对当前解的一个自变量施加正态分布的随机扰动产生新解。

3、模拟退火算法 Python 程序

# 模拟退火算法 程序：多变量连续函数优化
# Program: SimulatedAnnealing_v1.py
# Purpose: Simulated annealing algorithm for function optimization
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated：2021-04-30
# = 关注 Youcans，分享原创系列 https://blog.csdn.net/youcans =
#  -*- coding: utf-8 -*-
import math # 导入模块
import random  # 导入模块
import pandas as pd  # 导入模块
import numpy as np# 导入模块 numpy，并简写成 np
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入模块 matplotlib.pyplot，并简写成 plt
from datetime import datetime
# 子程序：定义优化问题的目标函数
def cal_Energy(X, nVar):
 # 测试函数 1： Schwefel 测试函数
 # -500 <= Xi <= 500
 # 全局极值：(420.9687,420.9687,...),f(x)=0.0
 sum = 0.0
 for i in range(nVar):
  sum += X[i] * np.sin(np.sqrt(abs(X[i])))
 fx = 418.9829 * nVar - sum
 return fx
# 子程序：模拟退火算法的参数设置
def ParameterSetting():
 cName = "funcOpt"  # 定义问题名称
 nVar = 2  # 给定自变量数量，y=f(x1,..xn)
 xMin = [-500, -500]# 给定搜索空间的下限，x1_min,..xn_min
 xMax = [500, 500]  # 给定搜索空间的上限，x1_max,..xn_max
 tInitial = 100.0# 设定初始退火温度(initial temperature)
 tFinal  = 1  # 设定终止退火温度(stop temperature)
 alfa = 0.98  # 设定降温参数，T(k)=alfa*T(k-1)
 meanMarkov = 100# Markov链长度，也即内循环运行次数
 scale= 0.5# 定义搜索步长，可以设为固定值或逐渐缩小
 return cName, nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale
# 模拟退火算法
def OptimizationSSA(nVar,xMin,xMax,tInitial,tFinal,alfa,meanMarkov,scale):
 # ====== 初始化随机数发生器 ======
 randseed = random.randint(1, 100)
 random.seed(randseed)  # 随机数发生器设置种子，也可以设为指定整数
 # ====== 随机产生优化问题的初始解 ======
 xInitial = np.zeros((nVar))# 初始化，创建数组
 for v in range(nVar):
  # random.uniform(min,max) 在 [min,max] 范围内随机生成一个实数
  xInitial[v] = random.uniform(xMin[v], xMax[v])
 # 调用子函数 cal_Energy 计算当前解的目标函数值
 fxInitial = cal_Energy(xInitial, nVar)
 # ====== 模拟退火算法初始化 ======
 xNew = np.zeros((nVar))# 初始化，创建数组
 xNow = np.zeros((nVar))# 初始化，创建数组
 xBest = np.zeros((nVar))  # 初始化，创建数组
 xNow[:]  = xInitial[:] # 初始化当前解，将初始解置为当前解
 xBest[:] = xInitial[:] # 初始化最优解，将当前解置为最优解
 fxNow  = fxInitial  # 将初始解的目标函数置为当前值
 fxBest = fxInitial  # 将当前解的目标函数置为最优值
 print('x_Initial:{:.6f},{:.6f},\tf(x_Initial):{:.6f}'.format(xInitial[0], xInitial[1], fxInitial))
 recordIter = []  # 初始化，外循环次数
 recordFxNow = [] # 初始化，当前解的目标函数值
 recordFxBest = []# 初始化，最佳解的目标函数值
 recordPBad = []  # 初始化，劣质解的接受概率
 kIter = 0  # 外循环迭代次数，温度状态数
 totalMar = 0  # 总计 Markov 链长度
 totalImprove = 0 # fxBest 改善次数
 nMarkov = meanMarkov# 固定长度 Markov链
 # ====== 开始模拟退火优化 ======
 # 外循环，直到当前温度达到终止温度时结束
 tNow = tInitial  # 初始化当前温度(current temperature)
 while tNow >= tFinal:  # 外循环，直到当前温度达到终止温度时结束
  # 在当前温度下，进行充分次数(nMarkov)的状态转移以达到热平衡
  kBetter = 0  # 获得优质解的次数
  kBadAccept = 0  # 接受劣质解的次数
  kBadRefuse = 0  # 拒绝劣质解的次数
  # ---内循环，循环次数为Markov链长度
  for k in range(nMarkov): # 内循环，循环次数为Markov链长度
totalMar += 1  # 总 Markov链长度计数器
# ---产生新解
# 产生新解：通过在当前解附近随机扰动而产生新解，新解必须在 [min,max] 范围内
# 方案 1：只对 n元变量中的一个进行扰动，其它 n-1个变量保持不变
xNew[:] = xNow[:]
v = random.randint(0, nVar-1)# 产生 [0,nVar-1]之间的随机数
xNew[v] = xNow[v] + scale * (xMax[v]-xMin[v]) * random.normalvariate(0, 1)
# random.normalvariate(0, 1)：产生服从均值为0、标准差为 1 的正态分布随机实数
xNew[v] = max(min(xNew[v], xMax[v]), xMin[v])  # 保证新解在 [min,max] 范围内
# ---计算目标函数和能量差
# 调用子函数 cal_Energy 计算新解的目标函数值
fxNew = cal_Energy(xNew, nVar)
deltaE = fxNew - fxNow
# ---按 Metropolis 准则接受新解
# 接受判别：按照 Metropolis 准则决定是否接受新解
if fxNew < fxNow:  # 更优解：如果新解的目标函数好于当前解，则接受新解
 accept = True
 kBetter += 1
else:  # 容忍解：如果新解的目标函数比当前解差，则以一定概率接受新解
 pAccept = math.exp(-deltaE / tNow)  # 计算容忍解的状态迁移概率
 if pAccept > random.random():
  accept = True  # 接受劣质解
  kBadAccept += 1
 else:
  accept = False  # 拒绝劣质解
  kBadRefuse += 1
# 保存新解
if accept == True:  # 如果接受新解，则将新解保存为当前解
 xNow[:] = xNew[:]
 fxNow = fxNew
 if fxNew < fxBest:  # 如果新解的目标函数好于最优解，则将新解保存为最优解
  fxBest = fxNew
  xBest[:] = xNew[:]
  totalImprove += 1
  scale = scale*0.99  # 可变搜索步长，逐步减小搜索范围，提高搜索精度  
  # ---内循环结束后的数据整理
  # 完成当前温度的搜索，保存数据和输出
  pBadAccept = kBadAccept / (kBadAccept + kBadRefuse)  # 劣质解的接受概率
  recordIter.append(kIter)  # 当前外循环次数
  recordFxNow.append(round(fxNow, 4))  # 当前解的目标函数值
  recordFxBest.append(round(fxBest, 4))  # 最佳解的目标函数值
  recordPBad.append(round(pBadAccept, 4))  # 最佳解的目标函数值
  if kIter%10 == 0:# 模运算，商的余数
print('i:{},t(i):{:.2f}, badAccept:{:.6f}, f(x)_best:{:.6f}'.\
 format(kIter, tNow, pBadAccept, fxBest))
  # 缓慢降温至新的温度，降温曲线：T(k)=alfa*T(k-1)
  tNow = tNow * alfa
  kIter = kIter + 1
  # ====== 结束模拟退火过程 ======
 print('improve:{:d}'.format(totalImprove))
 return kIter,xBest,fxBest,fxNow,recordIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad
# 结果校验与输出
def ResultOutput(cName,nVar,xBest,fxBest,kIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad,recordIter):
 # ====== 优化结果校验与输出 ======
 fxCheck = cal_Energy(xBest,nVar)
 if abs(fxBest - fxCheck)>1e-3:# 检验目标函数
  print("Error 2: Wrong total millage!")
  return
 else:
  print("\nOptimization by simulated annealing algorithm:")
  for i in range(nVar):
print('\tx[{}] = {:.6f}'.format(i,xBest[i]))
  print('\n\tf(x):{:.6f}'.format(fxBest))
 return
# 加粗样式
def main():
 # 参数设置，优化问题参数定义，模拟退火算法参数设置
 [cName, nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale] = ParameterSetting()
 # print([nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale])
 # 模拟退火算法
 [kIter,xBest,fxBest,fxNow,recordIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad] \
  = OptimizationSSA(nVar,xMin,xMax,tInitial,tFinal,alfa,meanMarkov,scale)
 # print(kIter, fxNow, fxBest, pBadAccept)
 # 结果校验与输出
 ResultOutput(cName, nVar,xBest,fxBest,kIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad,recordIter)
if __name__ == '__main__':
 main()

4、程序运行结果

x_Initial:-143.601793,331.160277,	f(x_Initial):959.785447
i:0,t(i):100.00, badAccept:0.469136, f(x)_best:300.099320
i:10,t(i):81.71, badAccept:0.333333, f(x)_best:12.935760
i:20,t(i):66.76, badAccept:0.086022, f(x)_best:2.752498
...
i:200,t(i):1.76, badAccept:0.000000, f(x)_best:0.052055
i:210,t(i):1.44, badAccept:0.000000, f(x)_best:0.009448
i:220,t(i):1.17, badAccept:0.000000, f(x)_best:0.009448
improve:18
Optimization by simulated annealing algorithm:
	x[0] = 420.807471
	x[1] = 420.950005
	f(x):0.003352

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